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Mathematische Optimierung

Überblick

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Optimierungs-Software von Pinter Consulting Services

Globale Optimierung - Überblick

Ein nichtlineares Optimierungsmodell kann mehrere lokale und globale Optima besitzen, denn es ist ja möglich, dass Zielfunktionen mehrfache Extremalstellen besitzen und/oder Nebenbedingungen möglicherweise nicht-konvex sind .

Das Ziel der mathematischen globalen Optimierung (GO) ist: unter derartigen Umständen finde die global beste Lösung(smenge).

Eine mathematische Beschreibung finden Sie unten.

GO hat bedeutende bereits existierende und potentielle Anwendungen in vielen Bereichen der Naturwissenschaften, Ingenieurwissenschaften, Ökonometrie und Finanzwissenschaften.

Speziell zu diesem Thema gibt es bereits mehr als hundert Bücher, Tausende wissenschafticher Veröffentlichungen und Dutzende von Websites.

Das Problem der Globalen Optimierung - mathematische Beschreibung

LGO, MathOptimizer und MathOptimizer Professional ermöglichen die globale und lokale (numerische) Lösung einer allgemeinen Klasse stetiger Optimierungsaufgaben. Das allgemeine Modell läßt sich wie folgt beschreiben:

min f(x) unter der Bedingung, daß   x D ^n wobei  D := {x : x_lxx_u , g(x) 0}

Hierbei sei

  • x ^n, Vektor der Entscheidungsvariablen (^n ist der euklidische n-dimensionale reelle Vektorraum);
  • f : ^n,  stetige Zielfunktion;
  • D^n, nichtleere Menge zulässiger Entscheidungen, definiert durch
        - x_lund x_u  , explizite, endliche (in bezug auf die Komponenten)  untere und obere Schranken
          und durch
         - g : ^n ^m, Satz stetiger Nebenbedingungsfunktionen.
        ( g(x) 0deckt natürlich formal alle Fälle g(x) 0ab, wobei für irgendeinen der Operatoren =, und steht )

Diese analytischen Schlüsselannahmen garantieren, dass das betrachtete Modell eine globale optimale Lösung(smenge) besitzt. Zugleich kann das Modell, ohne weitere spezielle strukturelle Annahmen, eine sehr anspruchsvolle numerische Herausforderung repräsentieren. Denn es kann ja sein, dass man es mit nicht-konvexen oder gar nicht-zusammenhängenden zulässigen Regionen zu tun hat; die Zielfunktion kann auch eine unbekannte Anzahl lokaler Optima besitzen.
Zur Illustration betrachten Sie bitte die obige Abbildung, sie zeigt die  quadratische Fehlerfunktion, die bei der Lösung eines gegebenen Paares transzendentaler Gleichungen als Funktion zweier unbekannter Argumente auftritt.

Weitere Infos

Nach einer kurzen Vorstellung der drei Hauptprodukte finden Sie - weiter unten - weiterführende Informationen zu diesen drei Produkten:

LGO, MathOptimizer und MathOptimizer Professional im Überblick

Mit der LGO Software lassen sich nichtlineare Optimierungsmodelle mittels einer robusten und effizienten Folge von globalen und lokalen Suchalgorithmen lösen. Die LGO Software Entwicklung basiert auf (sogar durch Auszeichnungen) anerkannter Forschung. LGO ist bereits seit mehr als zehn Jahre auf einem breiten Spektrum professioneller compiler-basierten Entwicklungsplattformen im Einsatz.

MathOptimizer ist eine kürzlich eingeführte Mathematica-native Software zur Lösung einer umfangreichen Klasse nichtlinearer Optimierungsmodelle. MathOptimizer kann direkt in Mathematica, ohne weitere externe Tools, verwendet werden.

MathOptimizer Professional kombiniert die Stärken von Mathematica mit mit dem externen LGO Solver. Diese Kombination ermöglicht signifikant gesteigerte Modellier und Solver-Fähigkeiten sowie eine Leistung (Lösungsgeschwindigkeit), die mit anderen Compiler-basiserten Implementierungen konkurrieren kann.

Momentan unterstütze oder unterstützbare Compiler-Plattformen für LGO und MathOptimizer Professional sind zum Beispiel: Borland C/C++ and Delphi, Digital/Compaq Visual Fortran, Lahey Fortran 90 und 95, Microsoft Visual Basic und C/C++, Salford Fortran sowie weitere frei erhältliche Compiler (wie zum Beispiel g77/gcc und lcc). Diverse Windows und Unix/Linux Plattform-Implementierungen können auf Anfrage zur Verfügung gestellt werden.

Die ausgereiften Software-Produkte werden weltweit und zunehmend in Bildung, akademischer und angewandter Forschung , in der Industrie und in Beratungsfirmen eingesetzt.